Не делится как пишется в математике

Признаки делимости чисел

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

  • 4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
  • 5, 11, 37, 53, 123, 1071 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

  • 18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
  • 132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
  • 614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

  • 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
  • 35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а .

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

  • 344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12:4=3).
  • 5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.

Число делится на 4 без остатка, если:

  • в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
  • в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

  • 10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
  • 13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

  • 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
  • 712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
  • 1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

  • 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
  • 105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
  • 812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
  • 302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

  • 264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
  • 716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а .

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

  • 2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
  • 12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

  • 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
  • 921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

  • 10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
  • 53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

  • 737 – делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11:11=1.
  • 1364 – делится на 11, т.к. |(1+6)-(3+4)|=0.
  • 24587 – не делится на 11, т.к |(2+5+7)-(4+8)|=2, а 2 не делится на 11.

Источник статьи: http://microexcel.ru/priznaki-delimosti/

Признаки делимости чисел

Признак делимости — это алгоритм, который помогает быстро определить, является ли число кратным заранее заданному. Рассмотрим алгоритмы для чисел от 1 до 10.

Понятие делимости

Признаки делимости чисел — это особенности чисел, которые позволяют определить, кратно число делителю или нет.

Все целые числа делятся на единицу.

Каждое целое число, не равное нулю, делится на натуральное число, равное модулю от данного целого.

Все натуральные числа являются делителями нуля.

Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю.

Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b.

Единственный делитель единицы — сама единица.

Чтобы целое число a делилось на натуральное число b, необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b.

Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны.

Свойства делимости можно использовать при решении задач и доказательстве теорем.

Четные числа — это числа, которые делятся на два: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 и т. д. Ноль тоже относится к четным числам.

Нечетные числа — это числа, которые на два не делятся: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 и т. д.

Признаки делимости

Рассмотрим признаки делимости на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Признак делимости на 1

Каждое целое число делится на 1.

Признаки делимости на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра четная.

Пример: число 2164 делится на 2, так как последняя цифра (6) — четная.

Признаки делимости на 3

На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

Пример: число 81 300 делится на 3, так как сумма его цифр 8 + 1 + 3 + 0 + 0 = 12 делится на 3.

Признаки делимости на 4

Число делится на 4, если две последние его цифры — нули или образуют число, которое делится на 4.

число 37 100 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями;

число 7524 делятся на 4, так как две последние цифры (24) делятся на 4.

Признаки делимости на 5

На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5.

Пример: число 450 делится на 5, так как последняя цифра 0.

Признаки делимости на 6

Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.

число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3;

число 861 не делится на 6, так как оно делится на 3, но не делится на 2.

Признаки делимости на 7

Делимость на число 7 можно проверить так:

Последнюю цифру числа умножить на два.

Полученное произведение вычесть от оставшегося числа (без последней цифры).

Полученная разность должна быть кратна 7.

Пример: число 343 делится на 7, так как 34 − (2 · 3) = 28, и 28 делится на 7.

Признаки делимости на 8

На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8.

число 11 000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями;

число 12 128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.

Признаки делимости на 9

На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

Пример: число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.

Признаки делимости на 10

На 10 делятся те числа, которые оканчиваются на ноль или несколько нулей.

число 462 не делится на 10 — последняя цифра 2.

Курсы обучения математике помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Источник статьи: http://skysmart.ru/articles/mathematic/priznaki-delimosti-chisel

Справочник по математике

математика, алгебра, геометрия

Признаки делимости на 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,25,100,1000

Признак делимости на 2.

Число, делящееся на 2, называется четным, не делящееся – нечетным. Число делится на два, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях – не делится.

  • число 52 738 делится на 2, так как последняя цифра 8 – четная; 7691 не делится на 2, так как 1 – цифра нечетная;
  • 1250 делится на 2, так как последняя цифра нуль.

к содержанию ↑

Признак делимости на 4.

Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях – не делится.

  • 31 700 делится на 4, так как оканчивается двумя нулями;
  • 215 634 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4;
  • 16 608 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся, на 4.

к содержанию ↑

Признак делимости на 8

Признак делимости на 8 подобен предыдущему. Число делится на 8, если три последние цифры его нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях – не делится.

  • 125000 делится на 8 (три нуля в конце);
  • 170 004 не делится на 8 (три последние цифры дают число 4, не делящееся на 8);
  • 111120 делится на 8 (три последние цифры дают число 120, делящееся на 8).

Можно указать подобные признаки и для деления на 16, 32, 64 и т. д., но они не имеют практического значения.

Признаки делимости на 3 и на 9.

На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 – только те, у которых сумма цифр делится на 9.

  • Число 17835 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр 1 +7 + 8 + 3 + 5 = 24 делится на 3 и не делится на 9.
  • Число 105 499 не делится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (29) не делится ни на 3, ни на 9.
  • Число 52 632 делится на 9, так как сумма его цифр (18) делится на 9.

к содержанию ↑

Признак делимости на 6.

Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае – не делится.

Например, 126 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.

Признаки делимости на 5.

На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие – не делятся.

  • 240 делится на 5 (последняя цифра 0);
  • 554 не делится на 5 (последняя цифра 4).

Признак делимости на 25.

На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие не делятся.

Признаки делимости на 10, 100 и 1000.

На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 – только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 – только те, у которых три
последние цифры нули.

  • 8200 делится на 10 и на 100;
  • 542000 делится на 10, 100, 1000.

Признак делимости на 11.

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на
число, делящееся на 11.

  • Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих четные места 0+7+5=12.
  • Число 9163627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11.
  • Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и 6 +0 + 5=11 не равны друг другу, а их разность 11 -7 = 4 на 11 не делится.

к содержанию ↑

Признак делимости на 7.

Таким образом для делимости на числа первого десятка, кроме 7, существуют удобные признаки; для 7 удобного признака делимости не найдено.

Можно дать следующий признак делимости на 7, который недостаточно удобен. Разобьем число справа налево на грани, по три цифры в каждой грани. Число делится на 7, если разность суммы чисел в гранях, стоящих на четных местах, и суммы чисел в гранях, стоящих на нечетных местах, делится на 7. Так, число 159 213 608 421 делится на 7, так как 421 + 213=634, 608 + 159 = 767 и разность 767 – 634 = 133 делится на 7.

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Источник статьи: http://totangens.ru/arifmetika-10.html

Делимость чисел в математике с примерами решения

Делимость чисел

Делители натурального числа

18 конфет можно разделить поровну между 3 детьми, дав каждому ребенку по 6. Это же количество конфет, не разрезая их, нельзя разделить поровну между 4 детьми. Если каждому ребенку дать по 4 конфеты, то останется 2. Запишем:

Число 18 делится на число 3 без остатка (еще говорят: 18 делится на 3). Число 3 называют делителем числа 18. Число 18 не делится без остатка на 4 (еще говорят: 18 не делится на 4). Число 4 не является делителем числа 18.

Любое натуральное число, на которое делится данное натуральное число, называют делителем этого числа.

Запишем все натуральные числа, на которые делится число 18 Такими числами являются 1,2,3,6,9, 18. Итак, число 18 имеет 6 делителей: 1,2, 3,6,9 и 18.

Число 1 имеет только один делитель — 1. Любое другое число, например, 23, обязательно имеет по крайней мере два делителя — число 1 и само число (23), причем I — наименьший делитель, само число (23) — наибольший.

Найти все делители числа 36.

Чтобы найти все делители числа 36, будем делить его на натуральные числа, начиная с 1: 36 : 1 = 36; 36 : 2 = 18; 36 : 3 = 12; 36 : 4 = 9; 36 : 5 = 7 (ост. 1); 36 : 6 = 6; 36 : 7 = 5 (ост. 1); 36 : 8 = 4 (ост. 4) и т. д.

Количество делений можно уменьшить. Найдя один делитель, сразу можем записать еще один, который является частным от деления числа 36 на этот делитель. Делители удобно записать так:

Итак, делителями числа 36 являются: 1, 2, 3,4, 6, 9, 12, 18, 36.

Признаки делимости на 2, 5 и 10

Как известно из изученного в пятом классе, чтобы умножить натуральное число на 10, нужно к записи этого числа дописать справа один нуль, например, 137 • 10 = 1370. Поскольку 10 является делителем числа 1370, то число 1370 делится на 10. В общем, на 10 делятся все числа, запись которых оканчивается цифрой 0.

Число, запись которого не оканчивается цифрой 0, например, 457, на 10 не делится.

Натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится на 10.

Натуральное число, запись которого не оканчивается цифрой 0, не делится на 10.

Это правило называют признаком делимости на 10.

Найдем признак делимости на 5. Для этого разделим на 5 некоторые числа, например, 19, 82, 140, 245, 344, 515, 630, 1027.

Запишем в первый столбик те числа, которые делятся на 5, а во второй — те, которые не делятся на 5.

Какую вы заметили особенность чисел, которые делятся на 5; не делятся на 5?

Натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0 или 5, делится на 5.

Натуральное число, запись которого оканчивается цифрой, отличной от 0 или 5, не делится на 5.

Числа, которые делятся на 2, называют четными, а числа, которые на 2 не делятся, — нечетными. Например, 24 — число четное, поскольку оно делится на 2, а число 25 — нечетное, поскольку оно не делится на 2.

Однозначные числа 0, 2,4, 6, 8 являются четными, а числа 1, 3, 5, 7, 9 — нечетными.

Запись каждого числа, которое делится на 2, оканчивается однозначным четным числом. Если запись числа оканчивается однозначным нечетным числом, то оно не делится на 2.

Натуральное число, запись которого оканчивается однозначным четным числом, делится на 2.

Натуральное число, запись которого оканчивается однозначным нечетным числом, не делится на 2.

Для тех, кто хочет знать больше

Зная последнюю цифру в записи натурального числа, можно установить, делится ли оно на 2, 5 или 10.

Зная две последние цифры в записи натурального числа, можно ответить на вопрос, делится ли число на 4, на 25. А именно:

Натуральное число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Натуральное число не делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, не делится на 4

Натуральное число делится на 25. если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 25.

Натуральное число не делится на 25, если число, образованное двумя его последними цифрами, не делится на 25.

  • 14 536 делится на 4, поскольку двумя его последними цифрами записано число 36, которое делится на 4;
  • 57 375 делится на 25, поскольку 75 делится на 25;
  • 28 426 не делится на 4, поскольку 26 не делится на 4;
  • 438 635 не делится на 25, поскольку 35 не делится на 25.

Признаки делимости на 9 и на 3

Найдем признак делимости на 9. Для этого разделим на 9 некоторые числа, например, 288, 361,441, 814. 917, 8919.

Запишем в первый столбик те числа, которые делятся на 9, а во второй — те, которые не делятся на 9.

Какую вы заметили особенность чисел которые делятся на 9; не делятся на 9?

Воспользуйтесь такой подсказкой: найдите сумму цифр каждого из этих чисел.

Какое свойство имеет сумма цифр тех чисел, которые делятся на 9?

Какое свойство имеет сумма цифр тех чисел, которые не делятся на 9?

Натуральное число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Натуральное число не делится на 9, если сумма его цифр не делится на 9.

Признак делимости на 3 аналогичен признаку делимости на 9.

Натуральное число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Натуральное число не делится на 3, если сумма его цифр не делится на 3.

Для тех. кто хочет знать больше

Признак делимости на 9, например, для числа 468, следует из таких преобразований:

Число — 9 делится на 9. Сумма 4+6+8 является суммой цифр числа 468. Если она делится на 9, то и число 468 делится на 9. Так как сумма 4 + 6 + 8 = 18 делится на 9, то и число 468 делится на 9.

Простые и составные числа

Возьмем несколько натуральных чисел и найдем все их делители.

Мы видим, что числа имеют разное количество делителей. Число 1 имеет только один делитель — само это число. Числа 2, 3, 17 имеют по два делителя: 1 и само себя. Числа 4, 12,21 и 30 имеют больше, чем два делителя.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных делителя: единицу и само это число. Число, имеющее более двух делителей, называют составным.

Итак, числа 2, 3, 17 — простые, а числа 4, 12, 21, 30 — составные. Число 1 не является ни простым, ни составным числом.

Если число имеет делитель, отличный от I и самого себя, то это число имеет более двух делителей и поэтому является составным. Число 12 475 — составное, так как имеет среди делителей, например, число 5.

Наименьшим простым числом является число 2. Наибольшего простого числа не существует. Все простые числа, кроме числа 2, являются нечетными.

Таблица простых чисел, которые не превышают 1000, находится на форзаце учебника.

Интересные рассказы

История математики знает имена ученых, которые приложили немало усилий для составления таблиц простых чисел. Первые такие попытки были сделаны еще в Древней Греции.

Для нахождения простых чисел древнегреческий ученый Эратосфен (ок. 276-ок. 194 г. до н.э.) предложил следующий способ Он выписывал все числа от 1 до некоторого числа Вычеркивал число 1, которое не является простым. Подчеркивал число 2 и вычеркивал все числа, которые делятся на 2, то есть числа 4, 6, 8, . Следующее незачеркнутое число 3 является простым Эратосфен подчеркивал это число и вычеркивал все числа, которые делятся на 3 Подчеркивал следующее невычеркнутое число 5, которое является простым, и т. д. С помощью такого способа среди чисел, не превышающих можно «высеять» все простые числа.

Если «высеять» все простые числа, не превышающие 30, то получим:

2, 3, 5, 7, II, 13, 17, 19, 23, 29 — первые 10 простых чисел.

Эратосфенов метод «высевания» простых чисел называют еще «решетом Эратосфена». Это связано с тем, что древние греки писали на папирусе или табличках, покрытых воском, и числа не вычеркивали, а выкалывали иголкой, после чего папирус или табличка напоминали решето.

В 1603 году итальянский математик Пьетро Катальди опубликовал в Болонье первую известную нам таблицу простых чисел меньше 750. Позже математики продвигались все дальше в глубь натурального ряда чисел, открывая все новые и новые простые числа.

Уже в 1770 голу немецкий математик Иоанн Генрих Ламберт (1728- 1777) опубликовал таблицу наименьших делителей всех чисел меньше 102 000, которые не делятся на 2, 3 и 5. Это была огромная работа. Не зря, призывая ученых продолжить составление таблицы, Ламберт гарантировал бессмертие тому, кто получит таблицу делителей до 1 000 000.

В середине XIX века в прессе появились сообщения, которые казались совершенно невероятными: Венская академия наук получила рукопись пражского математика Якуба Филиппа Кулика, содержащую таблицу деятелей чисел, не делящихся 2, 3 и 5, которую ученый расширил до 100 миллионов.

Редактор таблиц простых чисел Лемер посетил Вену и убедился, что в библиотеке академии хранится семь больших томов рукописных таблиц «Большой канон делителей всех чисел, которые не делятся на 2, 3 и 5, и простых чисел между ними до 100 330 201 Якуба Филиппа Кулика, публичного ординарного профессора высшей математики Пражского университета».

Якуб Филипп Кулик (1793 1863) родился во Львове. Окончив местную гимназию, он изучал философию, право и математику во Львовском университете, ас 1814 гола преподавал математику в лицее. С 1826 года Кулик стал профессором высшей математики Пражского университета. Много сил ученый отдал развитию культуры, науки и образования в родном крае. Он подарил много книг галицким гимназиям и Львовскому университету. Кулик является автором многих научных работ, но в историю математики он вошел как непревзойденный вычислитель и составитель математических таблиц.

Разложение натуральных чисел на простые множители

Составное число 24 можно записать как произведение двух множителей, например, 24 = 6•4. Говорят, что число 24 разложили на два множителя — 6 и 4. Числа 6 и 4 тоже можно разложить на множители: 6 = 3•2; 4 = 2•2. Теперь число 24 можно записать так: 24 = 3 • 2 • 2 • 2. В произведении 3 • 2 • 2 • 2 все множители являются простыми числами. Итак, число 24 разложили на простые множители.

Разложить число на простые множители означает записать его в виде произведения простых чисел. Любое составное число можно разложить на простые множители. Например:

Раскладывая числа на простые множители, надо найти простые делители этого числа. При этом можно использовать признаки делимости чисел. Чтобы разложить на множители большие числа, пользуются специальной схемой.

Пусть надо разложить на простые множители число 630.

Записываем это число и проводим справа вертикальную черту Наименьшим простым делителем этого числа является 2; записываем 2 справа or черты. Делим 630 на 2 и записываем частное 315 слева от черты под числом 630. Находим теперь наименьший простой делитель числа 315. Им является число 3, записываем его справа от черты. Делим 315 на 3, частное 105 записываем слева. Делим 105 на 3, получаем 35; 35 делим на 5, получаем 7. Число 7 простое, разделив его на 7, получим I. Разложение закончено.

Итак,

Найти все делители числа 126.

Разложим число 126 на простые множители:

Делителями числа 126 являются: 1, простые числа 2, 3, 7 в полученном разложении и всевозможные произведения чисел 2, 3, 3, 7, то есть:

И так, делителями числа 126 являются:

Запишем все делители в порядке их возрастания:

Интересные рассказы

Расположение простых чисел

Утверждение о том, что каждое отличное от 1 натуральное число можно записать в виде произведения простых множителей и притом единственным способом, если не принимать во внимание порядок расположения сомножителей, является так называемой основной теоремой арифметики — одной из древнейших математических наук (в переводе с греческого «арифметика» — «искусство чисел»).

В соответствии с основной теоремой арифметики простые числа являются как бы кирпичами, из которых «строятся» натуральные числа. Этим и объясняется внимание к простым числам со стороны математиков всех времен. Еще древнегреческий математик Эвклид (ок. 365 ок. 300 г. до н. э.) доказал, что простых чисел есть бесконечно много, поэтому наибольшего простого числа не существует. Но еще до сих пор не изучены закономерности расположения простых чисел в натуральном ряду.

Талантливые математики многих стран стремились найти закон расположения простых чисел.

В решении этого сложного вопроса весомый результат получил русский ученый, академик Пафнутий Львович Чебышев (1821 — 1894). Он доказал, что между любым натуральным числом больше 1 и его удвоением всегда существует хотя бы одно простое число.

О свойствах простых чисел выдвинуто много интересных гипотез. Среди них самой интересной является гипотеза члена Петербургской академии наук Кристиана Гольдбаха (1690 1764), сформулированная так: любое натуральное число больше 5 является суммой трёх простых чисел

Свойства простых чисел можно наглядно представить так:

  • а) представим прямолинейный провод, выходящий из комнаты в мировое пространство, проходящий возле Луны и далее за огненный шар Солнца — в бесконечность;
  • б) мысленно развесим на нем через каждый метр электрические лампочки и пронумеруем их натуральными числами;
  • в) мысленно включим свет с таким расчетом, чтобы загорелись лампочки, номера которых являются простыми числами;
  • г) мысленно полетим вдоль этого провода.

Перед нами откроется следующая картина.

  1. Лампочка под номером 1 не горит, поскольку единица не является простым числом.
  2. Две следующие лампочки под номерами 2 и 3 горят, поскольку числа 2 и 3 — простые. Больше таких лампочек, которые являются соседними и горят, мы не увидим.
  3. Будем наблюдать пары лампочек, которые горят, соответствующие числам-близнецам (3 и 5, 5 и 7, 11 и 13 и т. д.). Самой большой из известных пар чисел-близнецов является 10 999 949 и 10 999 951.
  4. Чем дальше будем лететь, тем будет становиться темнее, потому что реже будут гореть лампочки. А вот наступил большой промежуток темноты. Но мы вспоминаем свойство простых чисел, открытое Эвклидом, и смело движемся вперед, так как знаем, что впереди еще обязательно есть горящие лампочки, и их достаточно много.
  5. Снова долго летим, а впереди и позади — темнота. Снова вспоминаем свойство простых чисел, доказанное Чебышевым, и следуем далее, уверенные в том, что, пролетев путь не больше того, который уже пролетели, мы обязательно увидим свет.

Наибольший общий делитель

Выпишите все делители чисел 18 и 24 и подчеркните их общие делители

Общими делителями (они подчеркнуты) чисел 18 и 24 являются числа 1, 2, 3, 6, наибольшим из них является 6. Число 6 является наибольшим натуральным числом, на которое делятся и 18, и 24.

Наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Итак, наибольшим общим делителем чисел 18 и 24 являегся число 6. Сокращенно это записывают так: НОД( 18; 24) 6.

В рассмотренном примере мы легко нашли наибольший общий делитель чисел, записав все делители каждого из них. Если числа большие и имеют много делителей, то нахождение наибольшего общего делителя этим способом является достаточно сложным.

Рассмотрим еще один способ нахождения наибольшего общего делителя, взяв числа 210 и 294. Разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Подчеркнем все общие простые множители в разложении данных чисел: 2, 3, 7. Числа 210 и 294 делятся на каждое из чисел 2, 3, 7 и на их произведение: 2•3•7 =42. Число 42 является наибольшим общим делителем чисел 210 и 294:

Назовите последовательность шагов при нахождении НОД двух чисел.

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел можно разложить эти числа на простые множители и найти произведение их общих множителей.

По такому правилу можно находить наибольший общий делитель трёх и более чисел. Найдем, например, наибольший общий делитель чисел 45, 75 и 90. Разложим эти числа на простые множители и подчеркнем общие для всех чисел множители:

Итак,

Если среди данных чисел есть число, на которое делятся другие из данных чисел, то это число является наибольшим обидим делителем данных чисел. Например:

Два числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называют взаимно простыми числами. Например, числа 16 и 27 являются взаимно простыми, так как их наибольшим общим делителем является 1.

Взаимно простые числа вообще имеют только один общий делитель — число 1. Поэтому, если два числа имеют общий делитель, отличный от 1, то они не взаимно простые. Например, числа 18 и 45 не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3.

Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить из 24 васильков и 32 ромашек, использовав все цветы?

Из данных цветов можно, например, составить 2 букета. в каждом из которых будет 12 васильков и 16 ромашек. Нельзя составить три букета, так как 32 ромашки нельзя разделить на 3 одинаковые части. Можно составить четыре одинаковых букета, так как и 24 василька, и 32 ромашки можно разделить на 4 одинаковые части. Очевидно, что для решения задачи нужно найти наибольшее число, на которое можно разделить 24 василька и 32 ромашки, то есть найти наибольший общий делитель чисел 24 и 32. Поскольку НОД(24; 32) = 8, то можно составить самое большее 8 одинаковых букетов. Каждый такой букет будет состоять из 24 : 8 = 3 васильков и 32 : 8 = 4 ромашек.

Кратные натурального числа. Наименьшее общее кратное

Числа 36, 72, 180 делятся на 18. Говорят, что числа 36, 72, 180 кратны числу 18.

Любое натуральное число, которое делится на данное натуральное число, называют кратным данного числа.

Все числа, кратные числу 18, можно получить, умножая число 18 последовательно на числа 1,2, 3,4, 5.

18, 36, 54, 72, 90. — числа, кратные 18.

Каждое натуральное число имеет бесконечно много чисел, кратных ему, наименьшим из которых является само это число.

Запишите числа, кратные 9. и числа, кратные 12, и подчеркните их общие кратные.

Общими кратными чисел 9 и 12 являются подчеркнутые числа 36, 72, . Все они делятся на 9 и на 12. Наименьшим общим кратным является число 36

Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, которое делится на каждое изданных чисел.

То, что наименьшим общим кратным чисел 9 и 12 является число 36, сокращенно записывают так: НОК(9; 12) = 36.

Разложим числа 9, 12 и их наименьшее общее кратное 36 на простые множители:

Мы видим, что разложение числа 36 можно получить, если разложение числа 9 умножить на 2 • 2. Числа 2 и 2 — это такие множители из разложения числа 12, которых нет в разложении числа 9

Назовите последовательность шагов при нахождении НОК двух чисел.

Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, можно каждое из них разложить на простые множители и разложение одного из чисел умножить на те множители другого числа, которых нет в разложении первого.

Найдем наименьшее общее кратное чисел 90 и 210.

Если одно из чисел делится на другое, то большее из них является наименьшим общим кратным этих чисел. Например, НОК(21; 63) = 63.

Наименьшим общим кратным двух взаимно простых чисел являегся произведение этих чисел. Например, НОК(8; 9) = 72.

Наименьшее общее кратное можно найти не только для двух, но и для трех и более чисел.

Например, для чисел 12, 18, 24 имеем:

Найти наименьшее четырехзначное число, кратное 27.

1000 — наименьшее четырехзначное число. Разделим его на 27: 1000: 27 = 37 (ост. 1).

27 • 38 = 1026 — наименьшее четырехзначное число, кратное 27.

Шаг отца равен 72 см, а шаг сына — 54 см. Найти наименьшее расстояние, которое нужно пройти как отцу, так и сыну, чтобы каждый из них сделал при этом целое число шагов.

Искомое расстояние в сантиметрах должно выражаться таким наименьшим числом, которое делится на 72 и на 54. Таким числом являемся наименьшее общее кратное этих чисел. Найдем НОК(54; 72):

Итак, искомое расстояние равно 216 см. На таком расстоянии отец сделает 216 : 72 = 3 шага, а сын — 216 : 54 = 4 шага.

Найти наименьшее общее кратное чисел 15 и 12.

Находим кратные большего из чисел и проверяем, делятся ли они на меньшее число: 15 не делится на 12; 15 • 2 = 30 — не делится на 12; 15 • 3 = 45 не делится на 12; 15 • 4 = 60 — делится на 12. Итак, НОК( 15; 12) = 60.

  1. 24 = 6 • 4; 6 и 4 — делители числа 24
  2. Число 210 делится на 10, так как заканчивается 0.
  3. Числа 140 и 135 делятся на 5, так как заканчиваются 0 или 5
  4. Числа 510, 512, 324, 126, 438 делятся на 2, так как заканчиваются однозначным четным числом.
  5. Число 741 делится на 3; 7 + 4+1 = 12; 12:3 = 4, сумма цифр делится на 3. Число 711 делится на 9; 7+1 + 1=9; 9:9=1, сумма цифр делится на 9.
  6. Число 17 делится только на 1 и 17; 17 — простое число; делителями являются 1 и само число.
  7. Число 14 делится не только на I и 14, а и на 2; 14 — составное число; делителей больше двух.
  8. НОД( 18; 24) = 6; 6 — наибольшее натуральное число, на которое делятся 18 и 24.
  9. НОК(50; 75) =150; 150 — наименьшее натуральное число, которое делится на 50 и на 75.
Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Обыкновенные дроби
  • Отношения и пропорции
  • Рациональные числа и действия над ними
  • Делимость натуральных чисел
  • Угол между плоскостями
  • Понятие о производной вектор-функции
  • Криволинейные интегралы
  • Двойные и тройные интегралы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник статьи: http://www.evkova.org/delimost-chisel

Понятие делимости целых чисел, свойства делимости.

Материалом этой статьи начинается теория делимости целых чисел. Здесь мы введем понятие делимости и укажем принятые термины и обозначения. Это нам позволит перечислить и обосновать основные свойства делимости.

Понятие делимости

Понятие делимости – это одно из основных понятий арифметики и теории чисел. Мы будем говорить о делимости целых чисел и в частных случаях — о делимости натуральных чисел. Итак, дадим представление о делимости на множестве целых чисел.

Целое число a делится на целое число b , которое отлично от нуля, если существует такое целое число (обозначим его q ), что справедливо равенство a=b·q . В этом случае также говорят, что b делит a . При этом целое число b называется делителем числа a , целое число a называется кратным числа b (для получения более детальной информации о делителях и кратных обращайтесь к статье делители и кратные), а целое число q называют частным.

Если целое число a делится на целое число b в указанном выше смысле, то можно сказать, что a делится на b нацело. Слово «нацело» в этом случае дополнительно подчеркивает, что частное от деления целого числа a на целое число b является целым числом.

В некоторых случаях для данных целых чисел a и b не существует такого целого числа q , при котором справедливо равенство a=b·q . В таких случаях говорят, что целое число a не делится на целое число b (при этом имеется в виду, что a не делится на b нацело). Однако в этих случаях прибегают к делению целых чисел с остатком.

Разберемся с понятием делимости на примерах.

Целое отрицательное число −81 делится на целое отрицательное число −27 , так как −81=(−27)·3 (равенство (−27)·3=−81 имеет место в силу правила умножения целых чисел с разными знаками). Здесь же можно сказать, что число −27 делит −81 . В этом примере целое число −81 – это кратное числа −27 , а число −27 – делитель числа −81 .

Рассмотрим еще один пример. Целое число −16 не делится на целое число 5 , так как не существует такого целого числа q , при котором справедливо равенство −16=5·q . Таким образом, число −16 не является кратным числа 5 , а число 5 не является делителем числа −16 .

Теперь введем обозначения, принятые для удобства описания делимости.

Тот факт, что целое число a является кратным целого числа b ( a кратно b , или a делится на b ), записывают с помощью символа, представляющего собой три расположенные по вертикали точки «», в виде ab . Например, запись 9729 означает, что целое положительное число 972 делится на 9 .

С другой стороны, то обстоятельство, что целое число b делит целое число a , записывают с использованием символа «|», имеющего вид вертикальной черты, следующим образом: b|a . К примеру, запись 3|27 означает, что число 3 делит 27 . Также можно встретить записи вида b\a (посмотрите на обыкновенную дробь a/b справа налево), которые являются лишь разновидностью записи b|a и означают то же самое (что b делит a ).

Если символы делится и делит | зачеркнуть, то получим символы вида и , которые означают не делится (не является кратным, не кратно) и не делит соответственно. Приведем примеры. Запись 457 утверждает, что 45 не делится на 7 ( 45 не является кратным числа 7 , 45 не кратно 7 ). Целое число −3 не делит целое число 11 , кратко можно записать (−3)11 .

Итак, записи ab и b|a по сути являются различными формами записи одного и того же факта — делимости целого числа a на целое число b , а записи вида ab и ba опровергают делимость a на b .

Свойства делимости

Делимость обладает рядом характерных свойств. Перечислим и обоснуем основные свойства делимости, которые следуют из понятия делимости и свойств операций над целыми числами.

Любое целое число a делится на число a , на число −a , противоположное числу a , на единицу и на число −1 .

Докажем это свойство делимости.

Для любого целого числа a справедливы равенства a=a·1 и a=1·a , из которых следует, что a делится на a , причем частное равно единице, и что a делится на 1 , причем частное равно a . Для любого целого числа a также справедливы равенства a=(−a)·(−1) и a=(−1)·(−a) , из которых следует делимость a на число, противоположное числу a , а также делимость a на минус единицу.

Отметим, что свойство делимости целого числа a на себя называют свойством рефлексивности.

Следующее свойство делимости утверждает, что нуль делится на любое целое число b .

Действительно, так как 0=b·0 для любого целого числа b , то нуль делится на любое целое число.

В частности, нуль делится и на нуль. Это подтверждает равенство 0=0·q , где q – любое целое число. Из этого равенства вытекает, что частным от деления нуля на нуль является любое целое число.

Также нужно отметить, что на 0 не делится никакое другое целое число a , отличное нуля. Поясним это. Если бы нуль делил целое число a , отличное от нуля, то должно было бы быть справедливо равенство a=0·q , где q – некоторое целое число, а последнее равенство возможно только при a=0 .

Если целое число a делится на целое число b и модуль числа a меньше модуля числа b , то a равно нулю. В буквенном виде это свойство делимости записывается так: если ab и , то a=0 .

Так как a делится на b , то существует целое число q , при котором верно равенство a=b·q . Тогда должно быть справедливо и равенство , а в силу свойств модуля числа должно быть справедливо и равенство вида . Если q не равно нулю, то , откуда следует, что . Учитывая полученное неравенство, из равенства следует, что . Но это противоречит условию . Таким образом, q может быть равно только нулю, при этом получим a=b·q=b·0=0 , что и требовалось доказать.

Если целое число a отлично от нуля и делится на целое число b , то модуль числа a не меньше модуля числа b . То есть, если a≠0 и ab , то . Это свойство делимости непосредственно вытекает из предыдущего.

Делителями единицы являются только целые числа 1 и −1 .

Во-первых, покажем, что единица делится на 1 и на −1 . Это следует из равенств 1=1·1 и 1=(−1)·(−1) .

Осталось доказать, что никакое другое целое число не является делителем единицы.

Предположим, что целое число b , отличное от 1 и −1 , является делителем единицы. Так как единица делится на b , то в силу предыдущего свойства делимости должно выполняться неравенство , которое равносильно неравенству . Этому неравенству удовлетворяют только три целых числа: 1 , 0 , и −1 . Так как мы приняли, что b отлично от 1 и −1 , то остается лишь b=0 . Но b=0 не может быть делителем единицы (что мы показали при описании второго свойства делимости). Этим доказано, что никакие числа, отличные от 1 и −1 , не являются делителями единицы.

Чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b .

Докажем сначала необходимость.

Пусть a делится на b , тогда существует такое целое число q , что a=b·q . Тогда . Так как является целым числом, то из равенства следует делимость модуля числа a на модуль числа b .

Пусть модуль числа a делится на модуль числа b , тогда существует такое целое число q , что . Если числа a и b положительные, то справедливо равенство a=b·q , которое доказывает делимость a на b . Если a и b отрицательные, то верно равенство −a=(−b)·q , которое можно переписать как a=b·q . Если a – отрицательное число, а b – положительное, то имеем −a=b·q , это равенство равносильно равенству a=b·(−q) . Если a – положительное, а b – отрицательное, то имеем a=(−b)·q , и a=b·(−q) . Так как и q и −q являются целыми числами, то полученные равенства доказывают, что a делится на b .

Если целое число a делится на целое число b , то a также делится на число −b , противоположное числу b .

Если целое число a делится на целое число b , то и −a делится на b .

Важность только что рассмотренного свойства делимости сложно переоценить — теорию делимости можно описывать на множестве целых положительных чисел, а это свойства делимости распространяет ее и на целые отрицательные числа.

Делимость обладает свойством транзитивности: если целое число a делится на некоторое целое число m , а число m в свою очередь делится на некоторое целое число b , то a делится на b . То есть, если am и mb , то ab .

Приведем доказательство этого свойства делимости.

Так как a делится на m , то существует некоторое целое число a1 такое, что a=m·a1 . Аналогично, так как m делится на b , то существует некоторое целое число m1 такое, что m=b·m1 . Тогда a=m·a1=(b·m1)·a1=b·(m1·a1) . Так как произведение двух целых чисел является целым числом, то m1·a1 — это некоторое целое число. Обозначив его q , приходим к равенству a=b·q , которое доказывает рассматриваемое свойство делимости.

Делимость обладает свойством антисимметричности, то есть, если a делится на b и одновременно b делится на a , то равны либо целые числа a и b , либо числа a и −b .

Из делимости a на b и b на a можно говорить о существовании целых чисел q1 и q2 таких, что a=b·q1 и b=a·q2 . Подставив во второе равенство b·q1 вместо a , или подставив в первое равенство a·q2 вместо b , получим, что q1·q2=1 , а учитывая, что q1 и q2 – целые, это возможно лишь при q1=q2=1 или при q1=q2=−1 . Отсюда следует, что a=b или a=−b (или, что то же самое, b=a или b=−a ).

Для любого целого и отличного от нуля числа b найдется такое целое число a , не равное b , которое делится на b .

Таким числом будет любое из чисел a=b·q , где q – любое целое число, не равное единице. Можно переходить к следующему свойству делимости.

Если каждое из двух целых слагаемых a и b делится на целое число c , то сумма a+b также делится на c .

Так как a и b делятся на c , то можно записать a=c·q1 и b=c·q2 . Тогда a+b=c·q1+c·q2=c·(q1+q2) (последний переход возможен в силу распределительного свойства умножения целых чисел относительно сложения). Так как сумма двух целых чисел является целым числом, то равенство a+b=c·(q1+q2) доказывает делимость суммы a+b на c .

Это свойство можно распространить на сумму трех, четырех и большего количества слагаемых.

Если еще вспомнить, что вычитание из целого числа a целого числа b представляет собой сложение числа a с числом −b (смотрите правило вычитания целых чисел), то данное свойство делимости справедливо и для разности чисел. Например, если целые числа a и b делятся на c , то разность a−b также делится на с .

Если известно, что в равенстве вида k+l+…+n=p+q+…+s все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Допустим, этим членом является p (мы можем взять любой из членов равенства, что не повлияет на рассуждения). Тогда p=k+l+…+n−q−…−s . Выражение, получившееся в правой части равенства, делится на b в силу предыдущего свойства. Следовательно, число p также делится на b .

Если целое число a делится на целое число b , то произведение a·k , где k – произвольное целое число, делится на b .

Так как a делится на b , то справедливо равенство a=b·q , где q – некоторое целое число. Тогда a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (последний переход осуществлен в силу сочетательного свойства умножения целых чисел). Так как произведение двух целых чисел есть целое число, то равенство a·k=b·(q·k) доказывает делимость произведения a·k на b .

Следствие: если целое число a делится на целое число b , то произведение a·k1·k2·…·kn , где k1 , k2 , …, kn – некоторые целые числа, делится на b .

Если целые числа a и b делятся на c , то сумма произведений a·u и b·v вида a·u+b·v , где u и v – произвольные целые числа, делится на c .

Доказательство этого свойства делимости аналогично двум предыдущим. Из условия имеем a=c·q1 и b=c·q2 . Тогда a·u+b·v=(c·q1)·u+(c·q2)·v=c·(q1·u+q2·v) . Так как сумма q1·u+q2·v является целым числом, то равенство вида a·u+b·v=c·(q1·u+q2·v) доказывает, что a·u+b·v делится на c .

На этом закончим обзор основных свойств делимости.

Источник статьи: http://www.cleverstudents.ru/divisibility/divisibility.html

Алгебра

Понятие делимости и ее основные свойства

Напомним суть операции деления. Она является обратной для операции умножения. Пусть есть три числа, a, b и c, причем для них справедливо соотношение

В таком случае говорят, что a является произведением b и c. Тогда результатом деления числа a на b называют число с.

Надо понимать, что если мы делим друг на друга целые числа , то в результате может получится как целое, так и дробное число:

Если в результате деления числа а на b получилось целое число с, то говорят, что а делится на b.

Так, число 30 делится на 6, потому что при делении 30 на 6 получается целое число 5:

Иногда в математике используют выражение «делится нацело». Оно означает тоже самое, что и просто слово «делится». Например, 81 делится нацело на 3:

Порою в математике используют чуть более сложное определение делимости:

Видно, что оно похоже на определение операции деления. Его удобно использовать при доказательстве некоторых свойств делимости.

Понятие делимости определено только для целых чисел. Например, при делении 12,5 на 2,5 получается целое число:

однако никто не говорит, что 12,5 делится на 2,5.

Если число а делится на b, то b называют делителем числа a, а также говорят, что а – кратно b, или а является кратным b.

Рассмотрим несколько примеров:

  • так как 72:8 = 9, то 72 делится на 8, 72 кратно 8, и 8 – это делитель числа 72;
  • так как 132:11 = 12, то 132 делится на 11, 132 является кратным 11, и 11 является делителем 132.

Очевидно, что у каждого числа есть бесконечное количество кратных ему чисел. Так, числу 7 кратны числа 7, 14, 21, 28 и т.д.Ряд можно продолжать бесконечно, просто умножая 7 на каждое следующее натуральное число:

А вот количество делителей ограничено. Так, число 15 делится только на 1, 3, 5, 15, а также на –1, –3, –5 и –15. Есть одно исключение – ноль делится на любое целое число (кроме нуля), а потому имеет бесконечное число делителей. Стоит уточнить, что часто под делителями натурального числа понимают только другие натуральные числа, то есть отрицательные делители не учитывают.

Теперь рассмотрим некоторые свойства делимости чисел (для удобства будем пронумеровывать правила, чтобы было легче ссылаться на них).

Действительно, при делении целого числа на себя получается единица:

Ноль является исключением, поскольку деление на ноль не допускается в алгебре.

При делении на единицу число не меняется:

поэтому, если а – целое, то после деления на единицу оно останется целым.

Приведем пример. 128 делится на 16:

В свою очередь 16 делится на 4:

Значит, и 128 делится на 4:

Теперь докажем это свойство более строго. Если а делится на b, а b делится нацело на c, то, по определению делимости, должны существовать такие целые m и k, для которых выполняются равенства:

Подставим второе равенство в первое

Так как произведение целых чисел k и m само является целым, то, опять-таки по определению делимости, а делится нас.

Тоже самое доказательство поясним на конкретных числах.

Пусть 210 делится нацело на 30, а 30 делится на 6. Тогда требуется доказать, что 210 делится на 6 (не выполняя самого деления). 210 можно представить в виде

в свою очередь 30 можно записать как

Теперь подставим вторую запись в первую:

Так как числа 5 и 7 целые, то целым является и их произведение, следовательно, 150 делится на 6.

Описанные свойства являются основными для делимости. На их основе можно доказать много других утверждений. Например, если а делится на b, то верно и то, что а n делится на b n , где n– произвольное натуральное число. Например, 24 делится на 12, поэтому 24 2 делится на 12 2 :

Докажем строго это свойство. По определению можно записать равенство

Возведем правую и левую часть равенства в степень n:

Так как с – целое, то и с n будет целым, поэтому а n делится на b n .

Делимость суммы чисел

Существуют свойства, которые позволяют определить делимость суммы, даже не вычисляя ее.

Например, числа 3, 6, 9, 12, 15, 18 делятся на 3, поэтому и их сумма должна быть кратна 3:

Докажем это для случая с тремя слагаемыми. Пусть числа а, b и с делятся на р. Тогда можно записать выражения

Упростим сумму слагаемых, вынеся множитель p за скобки:

а + b + c = tр + sp + wp = p(t + s + w)

Ясно, что сумма целых чисел t + s + w сама является целой. Следовательно, сумма а + b + c делится на р (по определению).

Естественно, что обратное утверждение ошибочно. Из того факта, что сумма чисел делится на число, не следует, что на него делятся и слагаемые. Например, сумма 5 + 11 + 17 делится на 3:

Однако по отдельности 5, 11 и 17 на тройку не делятся.

Доказанный признак делимости суммы можно использовать при решении некоторых задач.

Пример. Докажите, не используя калькулятор, что число 736263 делится на 737.

Решение. Представим число 736263 как сумму:

736263 = 737000 – 737 = 737000 + (– 737)

Очевидно, что оба слагаемых делятся на 737:

Значит, и их сумма, то есть 736263, делится на 737.

В данном случае мы представили 736263 как сумму положительного и отрицательного числа. Однако делать это было необязательно, так как верно следующее правило:

Доказательство этого факта производится абсолютно также, как и доказательство для суммы чисел.

Следующее свойство помогает доказать неделимость чисел:

Пусть даны числа 40, 44, 48, 52 и 53. Все они, кроме числа 53, кратны 4. Значит, их сумма недолжна делиться на 4 (из-за единственного слагаемого 53). Действительно

Доказать это очень просто. Покажем это на примере 3 слагаемых. Пусть а и b кратны с, а d ему не кратно. Тогда сумму а, b и d можно представить так:

Поделим эту сумму на с:

Ясно, что величина (а + b):c будет целым числом. По условию d:c – дробное число, ведь d не делится на с. Однако сумма дробного и целого числа всегда является также дробным числом. Следовательно, сумма а + b + d не делится на с.

Это свойство очень полезно, так как с его помощью доказываются почти все признаки делимости чисел.

Аналогично можно доказать, что если разность двух чисел не делится на c, если одно из этих двух чисел делится, а второе не делится на с. Например, разность

не кратна 17, так как 17000000 делится на 17, а 16 – нет.

Однако нельзя сформулировать каких-либо правил для тех случаев, когда уже два и более слагаемых не делятся на какое-то число. Так сумма 22 + 44 делится на 6, хотя по отдельности ни 22, ни 44 не кратны 6.

Пример. Делится ли на 29 сумму чисел 58, 290, 2900, 20 и 9?

На первый взгляд, здесь есть два слагаемых, не кратных 29 – это 20 и 9, поэтому сразу ответить на вопрос задачи не получится. Преобразуем сумму, сложив отдельно слагаемые, не кратные 29:

58 + 290 + 2900 + 20 + 9 = 58 + 290 + 2900 + (20 + 9) =

Теперь у нас получилась сумма, где все слагаемые кратны 29, значит, и вся сумма делится на 29.

Пример. Кратна ли 31 сумме слагаемых 310, 62, 620, 93, 11, 10 и 12?

Решение. Здесь есть три слагаемых, не кратных 31: 11, 10 и 12. Сделаем из них одно слагаемое, преобразовав выражение:

310 + 62 + 620 + 93 + 11 + 10 + 12 = 310 + 62 + 620 + 93 + (11 + 10 + 12) =

Получили сумму, в которой все слагаемые, кроме 33, кратны 31. Значит, вся сумма не делится на 31.

Делимость произведения чисел

Следующее свойство касается уже делимости произведения чисел.

Приведем пример. Число 35 делится на 5, поэтому и произведение 35 и, скажем, 7 также делится на 5:

Докажем этот факт. Пусть даны числа а и b, причем а кратно с. Тогда можно записать, что

где p какое-то целое число. Произведение а и b можно представить так:

Так как произведение целых чисел p и b также является целым, то получили, что произведение а•b кратно с.

Проиллюстрируем это же доказательство на конкретном примере. Пусть есть произведение чисел 30 и 8 (30•8 = 240). Известно, что 30 делится на 6. Докажем, что и произведение 30•8 кратно шести. По определению делимости можно записать, что:

Подставим это равенство в произведение:

Так как произведение 5•8, очевидно, целое, то по определению делимости 30•8 делится нацело на 6.

Покажем это на примере 33 и 36. 33 кратно 11, а 36 делится на 12. Из этого следует, что произведение 33•36 делится на 11•12. Проверим это:

Докажем это свойство делимости произведения. Пусть а делится на с, а b кратно d. Тогда можно записать равенства

где p и k – какие-то целые числа. Тогда произведение аb будет выглядеть так:

Это значит, что ab делится на cd, так как произведение pk является целым числом.

Рассмотрим, как на координатной прямой располагаются кратные числа. Числа, кратные 2, показаны красным цветом:

Каждое следующее кратное получается при добавлении к предыдущему двойки:

Видно, что среди двух соседних чисел одно обязательно делится на 2.

Теперь посмотрим на расположение чисел, кратных 3 (отмечены зеленым цветом):

Здесь работает тот же принцип. Первым кратным является ноль, а каждое следующее кратное получается добавлением к предыдущему тройки:

Также можно увидеть, что среди трех последовательных чисел одно обязательно будет кратно 3.

Наконец, посмотрим на расположение чисел, кратных 4 (синий цвет):

Здесь можно отметить, что среди любых 4 последовательно идущих чисел (например, 11, 12, 13, 14) ровно одно будет делиться на 4.

Обобщая всё это, можно сформулировать такое правило:

Из этого, в свою очередь, следует следующее утверждение:

Действительно, если хоть один множитель произведения кратен n, то и всё произведение будет кратно n. А среди n последовательных множителей найдется тот, который кратен n.

С помощью этого утверждения можно сразу сказать, что, например, произведение 2522•2523•2524 кратно 3.

Теперь рассмотри несколько задач, в которых используются описанные свойства.

Пример. Делится ли выражение 3 11 + 9 6 + 27 3 на 111?

Представим все слагаемые как степени тройки:

3 11 + 9 6 + 27 3 = 3 11 + (3 2 ) 6 + (3 3 ) 3 = 3 11 + 3 2•6 + 3 3•3 =

= 3 11 + 3 12 + 3 9 = 3 9 (3 2 + 3 3 + 1) = 3 9 (9 + 27 + 1) = 3 9 •37

Далее преобразуем выражение, «забрав» одну тройку у 3 9 и «передав» ее 37:

3 9 •37 = 3 8 •3•37 = 3 8 •(3•37) = 3 8 •111

Итак, исходное выражение можно представить как произведение, причем один из множителей будет кратен 111. Значит и всё выражение делится на 111.

Пример. Имеет ли уравнение

66х 5 + 9х 3 + 36х + 40 = 0

целый корень, который НЕ является делителем числа 40?

Решение. Предположим, что такой корень существует, обозначим его как k. Тогда при его подстановке в уравнение получим верное равенство:

Теперь поделим обе части уравнения на k:

Проанализируем его. В правой части стоит целое число – ноль. В левой стоит сумма четырех слагаемых. Три из них (66k 4 , 9k 2 и 36) – это целые числа. Последнее слагаемое, 40/k, является дробным, а не целым числом, так как k не является делителем числа 40 по условию задачи. Ясно, что сумма целого числа (66k 4 + 9k 2 + 36) и дробного 40/k сама является дробным числом. Получаем, что слева дробное число, а справа – целое. Это противоречие. Оно означает, что исходное предположение (о существовании корня k) неверно, и у уравнения нет корня, не являющегося делителем числа 40.

Кстати, для приведенного выше уравнения можно доказать, что у него и вовсе отсутствуют целые корни. Попробуйте это сделать самостоятельно.

Прежде, чем рассмотреть следующую задачу, напомним уже известные нам три факта о сумме четных и нечетных чисел:

Пример. Докажите, что разность квадратов двух нечетных чисел делится на 8.

Решение. Известно, что любое нечетное число можно представить в виде

где n – какое-то целое число:

Обозначим первое нечетное число как 2m + 1, а второе как 2р + 1, тогда разность их квадратов, используя формулу сокращенного умножения, можно записать так:

(2m + 1) 2 – (2р + 1) 2 = (2m + 1 + 2р + 1)(2m + 1 – (2р + 1)) =

= (2m + 2p + 2)(2m – 2p) = 2(m + p + 1)•2(m – p) =

Далее следует рассмотреть два случая:

1) Предположим, что m и p являются одновременно либо четными, либо нечетными. Математики говорят в таком случае, что числа m и p имеют одинаковую четность. Тогда разность (m – p) также будет четной, то есть она делится на 2. Получаем, что в произведении

первый множитель делится на 4, а третий – на 2. Тогда и всё произведение, по правилу 8, делится на 4•2 = 8.

2) Теперь предположим, что одно из чисел m и p является нечетным, а другое четным. То есть они имеют разную четность. Тогда сумма (m + p) будет нечетной, а сумма (m + p + 1), наоборот, четной. Получается, что в произведении

первый множитель делится на 4, а второй – на 2. И тогда, снова по правилу 8, всё это произведение должно делиться на 4•2 = 8.

Пример. Есть ли на графике уравнения

хотя бы одна точка, имеющая целочисленные координаты?

Поделим исходное уравнение на 2:

Предположим, что существует точка с целыми координатами х и у, лежащая на графике этого уравнения. Если подставим ее координаты в уравнение, то в левой части получим, очевидно, какое-то целое число. В правой же части стоит дробное число 5,5. Получается противоречие, значит, точки с целочисленными координатами не существует.

Деление с остатком

Сейчас мы знаем, что при делении чисел может получиться дробный ответ:

Однако в младшей школе, когда дробные числа ещё не были изучены, использовалось деление с остатком:

Остаток должен быть меньше, чем делитель. Если вычесть из делимого остаток, то получится число, кратное делителю:

Если же остаток получился равным нулю, то имеет место деление без остатка.

Сформулируем строгое определение для операции «деление с остатком»:

Число 75 можно представить как

поэтому результатом деления 75 на 10 будет

Условие 0 ⩽d 2 = 16n 2 = 4•4n 2 + 0 (остаток от деления на 4 равен 0)

(4n + 1) 2 = 16n 2 + 8n + 1 = 4(4n + 2n) + 1 (остаток равен 1)

(4n + 2) 2 = 16n 2 + 16n + 4 = 4(4n 2 + 4n + 1) + 0 (остаток 0)

(4n + 3) 2 = 16n 2 + 24n + 9 = 4(4n 2 + 6n + 2) + 1 (остаток 1)

Получается, что при делении квадрата любого числа на 4 получается либо остаток, равный 1, либо нулевой остаток (то есть имеет место деление нацело).

Принцип Дирихле

Иногда при решении задач, связанных с делимостью чисел, помогает использование принципа Дирихле. Звучит он так:

Формулировка довольно сложная, поэтому для простоты часто используют пример с голубями и клетками:

Посмотрите на рисунок, где изображены 10 голубей и 9 клеток:

Действительно, здесь не получится распределить птиц по клеткам так, чтобы в каждом была не более чем одна птица. Однако на этом принцип Дирихле не исчерпывается. Что можно сказать о случае, когда животных меньше, чем клеток? Ясно, что одна из них останется пустой.

На рисунке показан случай, когда есть 7 голубей и 9 клеток:

Пусть есть поле, разбитое на 4 квадрата. На нем размещено 9 кругов:

Ясно, что в одной из клеток будет более 1 кружочка. Но более того, в одном из них обязательно окажется более 2 кругов! Действительно, даже если в каждом квадрате находилось бы ровно 2 фигуры, то тогда их общее количество равнялось бы 4•2 = 8, а их 9. Но также ясно, что хотя бы в одном квадрате будет менее 3 кругов.

Здесь мы приходим к связи между принципом Дирихле и делением с остатком. Если поделить 9 на 4, то получим 2 и в остатке 1:

2 – это неполное частное. Получается, что отношение 9/4 находится как бы между числами 2 и 3:

144 = 2•72 = 2•2•36 = 2•2•2•18 = 2•2•2•2•9 = 2 4 •9

64 = 2•32 = 2•2•16 = 2•2•2•8 = 2•2•2•2•4 = 2•2•2•2•2•2 = 2 6 •1

Если же число нечетное, то его можно записать как произведение нечетного числа и двойки в нулевой степени:

Получается, что любое натуральное число z можно представить в виде

где n – неотрицательное целое число, а k – нечетное число, которое, очевидно, не больше самого z.

Представим в таком виде все числа от 1 до 10000. При этом в качестве нечетного числа k мы сможем использовать только те 5000 нечетных чисел, которые не больше 10000. Теперь выберем 5001 число. В силу принципа Дирихле ясно, что хотя бы у двух из них число k будет совпадать. Но если у двух чисел это число k совпадает, то одно из них обязательно делится на другое!

Действительно, пусть одно число представимо как 2 n •k,а второе как 2 m •k, причем n>m. Тогда получаем

то есть при делении 2 n •k на 2 m •k получается целое число – какая-то степень двойки. Например, число 144 представимо как

поэтому 144 делится на 36:

Так как число k может принимать только 5000 значений (именно столько нечетных чисел находится между 1 и 10000), а нам надо сформировать множество из 5001 числа, то по принципу Дирихле мы в любом случае выберем два числа с одинаковым k. Одно из них будет делиться нацело на другое, поэтому сформировать требуемое множество не удастся.

Признаки делимости

На практике очень часто требуется быстро оценить, делится ли число на какое-либо другое число, не выполняя при этом саму операцию деления. Для ряда чисел существуют признаки делимости, которые позволяют произвести такую оценку.

Простейшим является признак делимости на 2:

Например, на 2 делятся числа:

  • 18 (последняя цифра 8 делится на 2)
  • 376 (6 кратна двойке)
  • 6530 (0 также делится на 2)
  • 45764 (заканчивается на 4)
  • 11111111111111111112 (заканчивается на 2)

Не кратны двойке числа, заканчивающиеся нечетной цифрой:

Теперь докажем признак делимости чисел на 2. Любое десятичное число можно представить как сумму нескольких десятков и единиц, например:

В общем случае эта запись будет выглядеть так:

где a – какое-то целое число

Ясно, что слагаемое 10а делится на 2, так как один из множителей этого произведения (10) кратен 2. Поэтому если b четное, то все слагаемые в сумме делятся на 2, следовательно, вся сумма кратна 2. Если же b – нечетная цифра, то получаем сумму, в которой ровно одно слагаемое не делится на 2, а значит, и вся сумма не кратна 2.

Далее рассмотрим признак делимости на 5:

Это значит, что на 5 делятся лишь числа, оканчивающиеся нулем или пятеркой, например:

Доказательство этого признака почти совпадает с предыдущим. Любое число можно переписать как сумму

первое слагаемое 10а делится на 5. Если и b (а это и есть последняя цифра) будет делиться на 5, то, по правилу 4, и вся сумма кратна пяти. Если же b не делится нацело на 5, то в силу правила 6 сумма на пять не делится.

Далее узнаем, как быстро определить, делится ли число на 4:

Приведем следующие примеры чисел, делящихся нацело на 4:

  • 124 (последние цифры 24, а 24 кратно 4);
  • 14516 (16 делится на 4);
  • 2365456196 (96 кратно 4);
  • 2102453208 (8 делится на 4);
  • 1354343431534311700 (0 кратен 4).

Доказательство этого признака построено на том, что целые числа можно переписать как сумму нескольких сотен и единиц:

123456789 = 1234567•100 + 89

В общем случае эта запись выглядит так:

где b – это число из двух последних цифр. И снова можно утверждать, что слагаемое 100а кратна 4, а значит, именно отделимости b на 4 зависит, будет ли и вся сумма кратна 4.

Так как 100 кратно ещё и 25, то абсолютно аналогично доказывается следующее утверждение:

То есть 25 кратны только те числа, которые оканчиваются на 00, 25, 50 или 75:

Доказательство аналогично доказательству для делимости на четверку.

Далее мы узнаем, какие числа кратны 8:

Так, будут кратны 8 следующие числа:

  • 124672 (672 делится на 8)
  • 32567240
  • 123649008
  • 64135216553000

Если же последние три цифры не кратны 8, то и всё число не кратно восьмерке:

Для доказательства утверждения будем записывать числа как сумму тысяч и единиц:

В общем случае такое представление будет выглядеть так:

где b состоит из трех последних цифр числа. Слагаемое 1000а делится на 8 при любом значении а, поэтому делимость всей суммы 1000а + b на 8 зависит исключительно от того, кратно ли b восьми.

Еще раз проясним момент, почему иногда мы смотрим только на одну последнюю цифру, а иногда на 2 или даже 3 цифры. Любые целые числа можно при необходимости разложить на сумму десятков, сотен или тысяч и единиц:

6563 = 656•10 + 3 (это разложение используется для проверки делимости на 2)

6563 = 65•100 + 63 (используется для проверки делимости на 4)

6563 = 6•1000 + 563 (используется для проверки делимости на 8)

Слагаемое, содержащее 10, делится на 2, поэтому для проверки делимости на эти числа достаточно проверить одну последнюю цифру. Однако 10 не делится на 4, поэтому для четверки такой способ НЕ подходит. Зато на 4 делится 100, поэтому можно проверить две последние цифры. Наконец, 100 не делится нацело на 8, зато на восьмерку делится 1000, поэтому здесь проверяют три последние цифры

К сожалению, для числа 3 похожий метод (проверка последних цифр) НЕ подходит. Вместо этого необходимо проверять сумму всех цифр:

Так, кратны трем будут числа:

  • 321 (сумма цифр 3 + 2 + 1 = 6, а 6 кратно 3)
  • 1578 (1 + 5 + 7 + 8 = 21, 21 кратно 3)
  • 123456789 (1 + 2 + 3 + 4+ 5 + 6 + 7 +8 + 9 = 45, 45:3 = 15)

Не кратны трем будут числа, у которых цифры в сумме не делятся нацело на 3:

  • 569 (5 + 6 + 9 = 20)
  • 98765 (9 + 8 + 7 + 6 + 5 = 35)

Теперь докажем признак делимости на 3. Все числа можно представлять как сумму различных степеней двойки

256 = 2•100 + 5•10 + 6•1 = 2•10 2 + 5•10 1 + 6•10 0

4567 = 4•10 3 + 5•10 2 + 6•10 1 + 7•10 0

Собственно, на этом и основана десятичная система счисления. Рассмотрим для примера шестизначное число, которое состоит из цифр abcdef. Его можно представить так:

abcdef = a•10 5 + b•10 4 + c•10 3 + d•10 2 + e•10 1 + f =

= a•100000 + b•10000 + c•1000 + d•100 + e•10 + f =

=99999a + a + 9999b + b + 999c + c + 99d + d + 9e + e + f =

= (99999a + 9999b + 999c + 99d + 9e) + (a + b + c + d + e + f)

Получили сумму двух слагаемых. Первое из них,

(99999a + 9999b + 999c + 99d + 9e)

очевидно, делится на 3, так как числа, состоящие из одних 9, кратны 3:

как раз и представляет собой сумму цифр исходного числа. Именно от его кратности тройке зависит, будет ли всё число делиться на 3.

Так как числа, состоящие исключительно из девяток, делятся не только на 3, но и на 9, то абсолютно аналогично доказывается признак делимости на 9:

  • 634518 (6 + 3 + 4 + 5 + 1 + 8 = 27)
  • 55554444 (5 + 5 + 5 + 5 + 4 + 4 + 4 + 4 = 36)

Отметим, что существует ещё много признаков делимости для таких чисел, как 7, 11, 13, 17 и т. д, но они достаточно сложные и не очень нужны на практике. Однако есть одно важное правило

Например, если число кратно 3 и 5, то оно делится и на 3•5 = 15, например:

Этот факт следует из того, что любое составное число раскладывается на простые множители. Например, разложение числа 105 выглядит так:

Естественно, что среди простых множителей окажутся именно те числа, на которые делится разлагаемое число. Вспомним уже изученное правило, что если в произведении есть множители, кратные m и n, то всё произведение кратно и mn. Из этого следует, что число делится на произведение простых чисел исключительно в том случае, когда оно кратно каждому из этих простых чисел.

Это свойство помогает сформулировать ещё несколько правил делимости:

Рассмотрим отдельно деление на десять. Число кратно двум, если оно оканчивается цифрами 0, 2, 4, 6 или 8. На 5 же оно делится, если в конце стоит 0 или 5. Получается, что число может одновременно делиться и на 2, и на 5 исключительно в том случае, если его последняя цифра – ноль.

Ещё раз уточним, что каждый из приведенных признаков делимости может использоваться только для своего числа. Ни в коем случае нельзя, например, при проверке делимости 9 использовать признаки делимости на 2 или 10.

Источник статьи: http://100urokov.ru/predmety/urok-2-delimost

Порядок действий в математике

В каждом доме есть свой порядок: сначала моем руки, затем едим обед, сначала все уроки — а потом гулять. Так вот, в математике тоже есть последовательность действий, которую важно соблюдать.

· Обновлено 28 октября 2022

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше ( Операции действия:

меньше ( Сложение — операция, которая позволяет объединить два слагаемых.

Запись сложения: 5 + 1 = 6, где 5 и 1 — слагаемые, 6 — сумма.

Вычитание — действие, обратное сложению.

Запись вычитания: 10 — 1 = 9, где 10 — уменьшаемое, 1 — вычитаемое, 9 — разность.

Если разность 9, сложить с вычитаемым 1, то получится уменьшаемое 10. Операция сложения 9 + 1 = 10 является контрольной проверкой вычитания 10 — 1 = 9.

Умножение — арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

Запись: 3 * 4 = 12, где 3 — множимое, 4 — множитель, 12 — произведение.

3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3, то есть число 3 сложили 4 раза само с собой.

В случае, если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например: 5 × 2 = 5 + 5 = 10 и 2 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10.

Поэтому и множитель, и множимое называют сомножителями.

Деление — арифметическое действие обратное умножению.

Запись: 30 : 6 = 5 или 30/6 = 5, где 30 — делимое, 6 — делитель, 5 — частное.

В этом случае произведение делителя 6 и частного 5 в качестве проверки дает делимое 30.

Сложение и вычитание, умножение и деление попарно представляют обратные друг другу действия. А теперь давайте узнаем порядок выполнения арифметических действий.

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

действия выполняются по порядку слева направо

сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.

Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11 − 2 + 5.

В нашем выражении нет умножения, деления и скобок, поэтому выполняем все действия слева направо. Сначала вычтем два из одиннадцати:

Затем прибавим к результату пять и в итоге получим четырнадцать:

Вот запись всего решения: 11 − 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 × 7 : 5?

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два:

Теперь результат умножаем на семь:

И получившееся в число делим на пять:

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 × 7 : 5 = 5 × 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 − 2 × 3) × (12 − 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Сначала определим порядок действий. Выражение содержит скобки, поэтому сначала будем выполнять действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание.

Итак, мы определили первые три действия:

Когда выполнены все действия в скобках, по правилу дальше мы должны выполнить умножение и деление, и в последнюю очередь — сложение. Теперь мы знаем, в каком порядке решать пример:

Осталось решить пример по действиям:

  1. 2 × 3 = 6
  2. 8 − 6 = 2
  3. 12 − 4 = 8
  4. 2 × 8 = 16
  5. 16 : 2 = 8
  6. 10 + 8 = 18

На этом все действия выполнены.

Ответ: 10 + (7 − 2 × 3) × (12 − 4) : 2 = 18.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 × (2 + 3)).

Для начала определим порядок действий

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 × (2 + 3). Но это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

Теперь перейдем к выражению во внешних скобках. Первым действием по правилу будет умножение, а затем слева направо — две операции сложения:

И последним действием останется выполнить сложение:

Источник статьи: http://skysmart.ru/articles/mathematic/poryadok-dejstvij-v-matematike

Почему на ноль делить нельзя — правило, доказательство и и примеры

Учителя многое недоговаривали

Сразу же стоит отметить, что эта аксиома является не совсем правдивой. На самом деле на ноль делить можно, и конец света от этого не настанет. Просто уравнение будет иметь бесконечное количество решений. Чем-то напоминает число «Пи», которое можно высчитывать в течение всей жизни и так и не получить конечного результата. Однако когда человек учится в школе, у него даже не возникает вопроса о том, что будет, если поделить на ноль. Слова преподавателя он воспринимает на веру.

Но может ли учитель объяснить маленькому ребенку, что такое принцип неопределенности или натуральный предел? Куда проще будет сказать, что на 0 делить нельзя. Правило не является совсем правдивым, зато школьник не будет пытаться решить уравнение, которое имеет несколько миллиардов решений. Если же в процессе разбора задачи выходит так, что все-таки приходится поделить на ноль, значит, где-то была допущена ошибка.

На самом деле у такой задачи может быть и иное решение — бесконечность (при условии, что при расчетах не было допущено ошибок). Чтобы это доказать, не придется использовать формулу массы или закон сохранения энергии из физики. В

большинстве случаев алгебраическое доказательство сводится к решению одного простого уравнения или функции, которая в итоге имеет бесконечное количество решений.

Четыре действия в арифметике

Сложение, умножение, деление и вычитание — эти принципы известны каждому школьнику, учащемуся в средних классах. Однако далеко не все знают, что равноправными действиями обладают лишь первые два из них.

Деление и вычитание — это операции, которые являются обратными сложению и умножению. Любые действия в математике могут быть легко построены лишь с помощью этих двух основ. Нужно лишь знать, как правильно выражать деление с помощью умножения или вычитание с помощью сложения. Здесь на помощь приходят уравнения, а также положительные и отрицательные числа. Иногда также приходится возводить число в какую-нибудь степень.

Чтобы было более понятно, следует немного попрактиковаться в арифметике. Что значит пример: «4−2»? Большинство школьников ответит на него достаточно просто: «Нужно взять 4 предмета, после чего провести удаление — отнять два из них, а затем взглянуть, сколько осталось». Вот только профессиональные математики представляют эту задачу совершенно иначе. Ее решение будет представлено уравнением: «x+2=4», корень которого представлен заменой арифметического действия. Нетрудно догадаться, что число «x» будет равно двум. Стоит отметить, что пример был решен без единого минуса.

Теперь немного о том, почему деление не считается полноправным действием в арифметике. В качестве примера возьмем следующее уравнение: «8:4=x». Всем и так понятно, что число «x» будет равно двум. Однако как получить это значение, не используя при этом деление? Правильно, нужно заменить его умножением. В результате математик получит уравнение: «x*4=8». Все очень просто и логично. Однако именно благодаря тому, что мы можем разделить, просто умножив, появляется первое определение того, что деление на ноль не имеет никакого смысла.

Попробуем решить простой пример: «6:0». Пятиклассник сразу скажет, что оно не имеет решения. Однако мы ведь знаем, что можно записать это же выражение другой фразой: «0*x=6». То есть математик получает задание отыскать число, которое бы при умножении на 0 дало ему 6. Вот только каждому известно, что при умножении на 0 в итоге все равно получится 0. Это свойство числа является неотъемлемым и любой шанс опровергнуть аксиому лишен всякого смысла. Именно поэтому учителя и будут продолжать запрещать ученикам делить на ноль, ведь решить уравнение с умножением на это число попросту невозможно.

Принцип бесконечности

Однако деление на ноль в высшей математике все-таки имеет решение. И оно даже не одно, их огромное множество. Этот прием называется принципом бесконечности и доказывает, что все-таки существует одно единственное число, которое можно разделить на ноль. Какое именно? Ну конечно же, сам ноль! Ведь если мы возьмем уравнение: «0*x=0», то оно будет успешно решаться — x будет равен нулю или любому другому числу, например, 512.

В этом и заключается принцип бесконечности. Ведь если вместо неизвестного показателя можно поставить любое число, то это значит, что уравнение с делением имеет огромное количество решений. Самое главное, чтобы один из множителей в обратном уравнении был также равен нулю. Другими словами, этот математический феномен также называется «принципом неопределенности» — какое бы число вы ни подставили вместо «x» (с плюсом или минусом, целое или дробное — неважно) — операция будет иметь неопределенное количество решений.

Работает ли этот факт с вычитанием? Не совсем! Если вы возьмете 5 яблок и вычтете из них ноль, то в итоге получится число, равное пяти. Но что если мы заменим одно из слагаемых числом «x»? Получится уравнение «5+x=5» Нетрудно догадаться, что уравнение имеет только одно решение, которое равно нулю. Однако можно ли подставить еще какое-то число, которое при сложении с другим отразит его зеркально? Разумеется, нет.

В этом и заключается одна из главных особенностей нуля. Если вы видите уравнение, в котором присутствует два слагаемых, а сумма равняется 5, то можете смело писать в решении «0», даже если вместо x там написана сложная система или логарифм.

Арифметическая шутка с нулем

Правило «делить на ноль нельзя» (пример в предыдущем разделе) лежит в основе многих арифметических шуток, которые могут доказывать, что 2+2 равняется не 4, а 7. Однако если математик уяснит его, то никогда не будет введен в заблуждение. Возьмем в качестве примера уравнение «4*x+2-=7*x-35.» Подробный алгоритм решения выглядит следующим образом:

  • Выносим за скобки знаменатели, дабы упростить решение. В правой части это будет четверка, а в левой — семерка. Получим уравнение: «4*(x — 5)=7*(x-5)».
  • Теперь необходимо умножить каждую часть уравнения на дробное число, которое равняется «1/(x-5)». Пример принимает следующий вид: «4*(х-5)/(х-5)=7*(х-5)/(х-5)».
  • Сокращаем дроби на «(x-5)», после чего получаем, что «4=7». Разбиваем левую часть на множители и узнаем, что «2+2» равняется не четырем, а семи.

Однако весь подвох заключается в том, что корень уравнения был равен пяти, а сокращать его с помощью дроби было нельзя, поскольку в итоге это привело к тому, что все уравнение было поделено на ноль. Поэтому при решении таких задач следует помнить важное правило: нельзя допускать, чтобы в знаменателе дроби оказался ноль. В противном случае это приведет вот к такому забавному решению, которое натолкнет математика на «открытие» ранее неизведанных «теорем».

Философия, да и только

Многие люди используют пример с делением на ноль для того, чтобы объяснить некоторые закономерности, которые попросту не поддаются объяснению. Ведь что представляет собой само понятие «бесконечность», которую мы иногда можем получить в процессе решения некоторых уравнений? Никто не сможет ответить на этот вопрос, поскольку он находится за пределами нашего понимания. Это как объяснять гусенице, что такое закон притяжения. Безусловно, он на нее действует, однако столь примитивный организм никогда не сможет понять те законы, которые нас окружают, ведь ей движут всего лишь инстинкты.

То же самое и с делением на бесконечность. Да, мы можем записать огромное количество решений для функций и уравнений, в которых приходится делить на ноль. Но что в итоге это даст? Бесконечность — число или понятие, которое находится за гранью нашего восприятия. Решение подобного уравнения сравнимо с путешествием в кроличью нору. Даже если конечный результат не будет достигнут — есть над чем задуматься. К примеру, насколько же все-таки многогранным и удивительным является это число — ноль. Оно одновременно ничего не значит и значит слишком много.

График функции с нулем

Лучше всего понять, что тип уравнения, в котором приходится делить на ноль, имеет бесконечное количество решений, помогает обычный график функции, который доводилось изучать каждому школьнику. Если говорить точнее, то потребуется гипербола, которая имеет обратную зависимость от функции. Выглядит рисунок в виде кривой с асимптотами — прямыми линиями, к которым симметрично стремится гипербола. Однако всем известно, что она никогда их не достигнет. Да, она пересекается возле точки, которая максимально близка к нулю, однако все-таки не достигает ее.

Вот такая получается математическая драма. Чем ближе функция приближается к своему значению, тем больше становится показатель «игрек», а «икс» — уменьшается. То есть если «y» будет стремиться к нулю, то «x» станет стремиться к бесконечности (или минус бесконечности). Так что такая функция не будет иметь решений, как бы математик не старался. Но ведь, по сути, в процессе решения никто не делит число на ноль. В роли делителя выступает число, которое имеет ничтожно малую величину. Вот так.

Именно поэтому многие опытные математики говорят, что при делении на ноль мы получаем бесконечность со знаком плюс или минус (в зависимости от знаменателя). Само собой, можно расписать на бумаге огромное множество решений до тех пор, пока известные числа просто не закончатся. Но стоит ли тратить свою жизнь на то, чтобы делать это? Ведь даже в школе учеников держат подальше от того, чтобы связываться с делением на ноль. Решить такое уравнение попросту невозможно, поскольку существуют миллиарды и даже триллионы возможных решений. Вот такой забавный парадокс с этим нулем.

Несколько умных ответов математикам

Поскольку решить уравнение с делением на ноль невозможно, стоит рассмотреть вариант ответов на случай, если на экзамене или где-нибудь на собеседовании будет задан вопрос от математика: «Почему на ноль делить нельзя?» Вот лишь несколько вариантов ответов, которые можно использовать и не ошибиться:

  • деление на ноль провоцирует принцип неопределённости;
  • ответов на такое уравнение существует бесконечное множество;
  • решение функции с гиперболой будет стремиться к нулю, но не достигнет его.

Ну а в качестве примера или «доказательства» аксиомы можно использовать уравнения, которые являются обратными общепринятым арифметическим действиям. Вот лишь несколько из них:

  • 0*x=0 — где вместо «x» можно подставить любое число, которое только вздумается;
  • 5-x=5 — таких «зеркальных» уравнений также существует бесконечное множество;
  • график функции, на котором «x» стремится к нулю, а «y» — к бесконечности.

Многие работодатели и авторитетные личности, которые хотят проверить человека с математическим образованием на его знания, попросят доказать принцип бесконечности, на что можно привести эти простые примеры. Ведь каждый высший математик должен не просто знать правило, что на ноль делить нельзя, а уметь объяснить, почему именно решение таких уравнений является бессмысленным.

Надеемся, теперь вы понимаете, что решение задач, в которых в качестве делителя выступает ноль, неприлично много. Это значит, что пытаться разобрать их будет бессмысленно, поскольку принцип неопределенности попросту не даст довести пример до логического завершения.

Возможно, именно поэтому индейцы племени Майя и называли это число «началом и бесконечностью», ведь даже график функции никогда его не достигнет.

Источник статьи: http://nauka.club/matematika/pochemu-na-nol-delit-nelzya.html

Признак делимости на 3: примеры, доказательство

Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на 3 ». Начнем с формулировки признака, приведем доказательство теоремы. Затем рассмотрим основные подходы к установлению делимости на 3 чисел, значение которых задано некоторым выражением. В разделе приведен разбор решения основных типов задач, основанных на применении признака делимости на 3 .

Признак делимости на 3 , примеры

Формулируется признак делимости на 3 просто: целое число будет делиться на 3 без остатка, если сумма входящих в его состав цифр делится на 3 . Если суммарное значение всех цифр, которые входят в состав целого числа, на 3 не делится, то и само исходное число на 3 не делится. Получить сумму всех входящих в целое число цифр можно с помощью сложения натуральных чисел.

Теперь рассмотрим примеры применения признака делимости на 3 .

Делится ли на 3 число — 42 ?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, сложим все цифры, входящие в состав числа — 42 : 4 + 2 = 6 .

Ответ: согласно признаку делимости, раз сумма цифр, входящих с восстав исходного числа, делится на три, то и само исходное число делится на 3 .

Для того, чтобы ответить на вопрос о том, делится ли на 3 число 0 , нам понадобится свойство делимости, согласно которому нуль делится на любое целое число. Получается, что нуль делится на три.

Существуют задачи, для решения которых прибегать в признаку делимости на 3 необходимо несколько раз.

Покажите, что число 907 444 812 делится на 3 .

Найдем сумму всех цифр, которые образуют запись исходного числа: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Теперь нам нужно определить, делится ли на 3 число 39 . Еще раз складываем цифры, входящие в состав этого числа: 3 + 9 = 12 . Нам осталось провести сложение цифр еще раз для того, чтобы получить окончательный ответ: 1 + 2 = 3 . Число 3 делится на 3

Ответ: исходное число 907 444 812 также делится на 3 .

Делится ли на 3 число − 543 205 ?

Посчитаем сумму цифр, входящих в состав исходного числа: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Теперь посчитаем сумму цифр полученного числа: 1 + 9 = 10 . Для того, чтобы получить окончательный ответ, найдем результат еще одного сложения: 1 + 0 = 1 .
Ответ: единица на 3 не делится, значит и исходное число на 3 не делится.

Для того, чтобы определить, делится ли данное число на 3 без остатка, мы можем провести деление данного числа на 3 . Если разделить число − 543 205 из рассмотренного выше примера столбиком на три, то в ответе мы не получим целого числа. Это точно также значит, что − 543 205 на 3 без остатка не делится.

Доказательство признака делимости на 3

Здесь нам понадобятся следующие навыки: разложение числа по разрядам и правило умножения на 10 , 100 и т.д. Для того, чтобы провести доказательство, нам необходимо получить представление числа a вида a = a n · 10 n + a n — 1 · 10 n — 1 + … + a 2 · 10 2 + a 1 · 10 + a 0 , где a n , a n − 1 , … , a 0 – это цифры, которые располагаются слева направо в записи числа.

Приведем пример с использованием конкретного числа: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 · 100 + 2 · 10 + 8 .

Запишем ряд равенств: 10 = 9 + 1 = 3 · 3 + 1 , 100 = 99 + 1 = 33 · 3 + 1 , 1 000 = 999 + 1 = 333 · 3 + 1 и проч.

А теперь подставим эти равенства вместо 10 , 100 и 1000 в равенства, приведенные ранее a = a n · 10 n + a n — 1 · 10 n — 1 + … + a 2 · 10 2 + a 1 · 10 + a 0 .

Так мы пришли к равенству:

a = a n · 10 n + … + a 2 · 100 + a 1 · 10 + a 0 = = a n · 33 . . . . 3 · 3 + 1 + … + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0

А теперь применим свойства сложения и свойства умножения натуральных чисел для того, чтобы переписать полученное равенство следующим образом:

a = a n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0

Выражение a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 — это сумма цифр исходного числа a . Введем для нее новое краткое обозначение А . Получаем: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

В этом случае представление числа a = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A принимает такой вид, который нам будет удобно использовать для доказательства признака делимости на 3 .

Теперь вспомним следующие свойства делимости:

  • необходимым и достаточным условием для того, чтобы целое число a делилось на целое число
    ​​​​​​ b , является условие, по которому модуль числа a делится на модуль числа b ;
  • если в равенстве a = s + t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Мы заложили основу для того, чтобы провести доказательство признака делимости на 3 . Теперь же сформулируем этот признак в виде теоремы и докажем ее.

Для того, чтобы утверждать, что целое число a делится на 3 , нам необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр, которая образует запись числа a , делилась на 3 .

Если взять значение a = 0 , то теорема очевидна.

Если ы возьмем число a , отличное от нуля, то модуль числа a будет натуральным числом. Это позволяет нам записать следующее равенство:

a = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , где A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 — сумма цифр числа a .

Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то
33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 — целое число, тогда по определению делимости произведение 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 делится на 3 при любых a 0 , a 1 , … , a n .

Если сумма цифр числа a делится на 3 , то есть, A делится на 3 , то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, a делится на 3 , следовательно, a делится на 3 . Так доказана достаточность.

Если a делится на 3 , то и a делится на 3 , тогда в силу того же свойства делимости число
A делится на 3 , то есть, сумма цифр числа a делится на 3 . Так доказана необходимость.

Другие случаи делимости на 3

Целые числа могут быть заданы как значение некоторого выражения, которое содержит переменную, при определенном значении этой переменной. Так, при некотором натуральном n значение выражения 4 n + 3 n — 1 является натуральным числом. В этом случае непосредственное деление на 3 не может дать нам ответ на вопрос, делится ли число на 3 . Применение признака делимости на 3 также может быть затруднено. Рассмотрим примеры таких задач и разберем методы их решения.

Для решения таких задач может быть применено несколько подходов. Суть одного из них заключается в следующем:

  • представляем исходное выражение как произведение нескольких множителей;
  • выясняем, может ли хотя бы один из множителей делиться на 3 ;
  • на основе свойства делимости делаем вывод о том, что все произведение делится на 3 .

В ходе решения часто приходится прибегать к использованию формулы бинома Ньютона.

Делится ли значение выражения 4 n + 3 n — 1 на 3 при любом натуральном n ?

Запишем равенство 4 n + 3 n — 4 = ( 3 + 1 ) n + 3 n — 4 . Применим формулу бинома Ньютона бинома Ньютона:

4 n + 3 n — 4 = ( 3 + 1 ) n + 3 n — 4 = = ( C n 0 · 3 n + C n 1 · 3 n — 1 · 1 + . . . + + C n n — 2 · 3 2 · 1 n — 2 + C n n — 1 · 3 · 1 n — 1 + C n n · 1 n ) + + 3 n — 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + 3 n — 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n — 1 · 1 + . . . + C n n — 2 · 3 2 + 6 n — 3

Теперь вынесем 3 за скобки: 3 · 3 n — 1 + C n 1 · 3 n — 2 + . . . + C n n — 2 · 3 + 2 n — 1 . Полученное произведение содержит множитель 3 , а значение выражения в скобках при натуральных n представляет собой натуральное число. Это позволяет нам утверждать, что полученное произведение и исходное выражение 4 n + 3 n — 1 делится на 3 .

Также мы можем применить метод математической индукции.

Докажите с использованием метода математической индукции, что при любом натуральном
n значение выражения n · n 2 + 5 делится на 3 .

Найдем значение выражения n · n 2 + 5 при n = 1 : 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 делится на 3 .

Теперь предположим, что значение выражения n · n 2 + 5 при n = k делится на 3 . Фактически, нам придется работать с выражением k · k 2 + 5 , которое, как мы ожидаем, будет делиться на 3 .

Учитывая, что k · k 2 + 5 делится на 3 , покажем, что значение выражения n · n 2 + 5 при n = k + 1 делится на 3 , то есть, покажем, что k + 1 · k + 1 2 + 5 делится на 3 .

k + 1 · k + 1 2 + 5 = = ( k + 1 ) · ( k 2 + 2 k + 6 ) = = k · ( k 2 + 2 k + 6 ) + k 2 + 2 k + 6 = = k · ( k 2 + 5 + 2 k + 1 ) + k 2 + 2 k + 6 = = k · ( k 2 + 5 ) + k · 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k · ( k 2 + 5 ) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k · ( k 2 + 5 ) + 3 · k 2 + k + 2

Выражение k · ( k 2 + 5 ) делится на 3 и выражение 3 · k 2 + k + 2 делится на 3 , поэтому их сумма делится на 3 .

Так мы доказали, что значение выражения n · ( n 2 + 5 ) делится на 3 при любом натуральном n .

Теперь разберем подход к доказательству делимости на 3 , которых основан на следующем алгоритме действий:

  • показываем, что значение данного выражения с переменной n при n = 3 · m , n = 3 · m + 1 и n = 3 · m + 2 , где m – произвольное целое число, делится на 3 ;
  • делаем вывод о том, что выражение будет делиться на 3 при любом целом n .

Для того, чтобы не отвлекать внимание от второстепенных деталей, применим данный алгоритм к решению предыдущего примера.

Покажите, что n · ( n 2 + 5 ) делится на 3 при любом натуральном n .

Предположим, что n = 3 · m . Тогда: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5 . Произведение, которое мы получили, содержит множитель 3 , следовательно само произведение делится на 3 .

Предположим, что n = 3 · m + 1 . Тогда:

n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = ( 3 m + 1 ) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · ( 2 m 2 + 2 m + 2 )

Произведение, которое мы получили, делится на 3 .

Предположим, что n = 3 · m + 2 . Тогда:

n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3

Это произведение также делится на 3 .

Ответ: Так мы доказали, что выражение n · n 2 + 5 делится на 3 при любом натуральном n .

Делится ли на 3 значение выражения 10 3 n + 10 2 n + 1 при некотором натуральном n .

Предположим что n = 1 . Получаем:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Если посчитать сумму цифр полученного числа, то получим 3 . Это позволяет нам утверждать, что полученное число делится на 3 .

Предположим, что n = 2 . Получаем:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Если посчитать сумму цифр этого числа, то мы снова получаем три. Это позволяет нам утверждать, что полученное число делится на 3 .

Так мы можем сделать вывод, что при любом натуральном n мы будем получать числа, которые делятся на 3 . Это значит, что 10 3 n + 10 2 n + 1 при любом натуральном n делится на 3 .

Источник статьи: http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/delimost/priznak-delimosti-na-3/

Правило признака делимости на 4 с примерами

При упрощении выражений необходимо знать некоторые особенности или правила с примерами. Признаки делимости на 4 вызывают сложности у учеников в 5 классе. Для изучения этой темы специалисты предлагают использовать научный подход, который основан на психофизиологических особенностях работы головного мозга. Он включает ознакомление с основными элементами теории и алгоритмом.

Общие сведения

Деление — арифметическая операция, позволяющая найти один из множителей при их произведении. Иными словами, деление является обратным действием относительно умножения. Записывается оно следующим образом: U/T=V. Далее следует подробно разобрать каждый из элементов операции:

  1. U — делимое (исходная величина, представляющая целое или дробное число).
  2. T — делитель (значение, показывающее количество равных частей, на которые требуется разделить первоначальное значение).
  3. V — результат операции.

Если провести аналогию с умножением, то компоненты можно назвать по-другому: U — произведение, T и V — I и II множители соответственно. Следует отметить, что операция деления проверяется при помощи произведения.

Например, нужно поделить 12 на 4. Записывать действие необходимо в виде математического числового выражения, т. е. 12/4. Результат эквивалентен значению 3. Чтобы проверить правильность нахождения частного, необходимо осуществить произведение «4*3».

Признаки делимости на 4

Для деления искомого числа на четверку нацело специалисты разработали специальный алгоритм. Он позволяет быстро определить, какое число делится на 4. Он имеет следующий вид:

  1. Проверить величину на четность. Если число — четное, то нужно перейти ко второму пункту.
  2. Отсеять две последние цифры.
  3. Значение, полученное во втором пункте, должно нацело делиться на четверку.

Исходя из методики, можно сформулировать такое свойство, позволяющее узнать, делится ли исходное значение на 4: величина на четверку делится в том случае, когда является четной и число, образованное разрядами десятков и единиц, можно поделить на это значение без остатка.

Пример реализации

Для реализации методики необходимо доказать кратность числа 213 четверке. Это осуществляется таким образом:

  1. Записать величину: 213.
  2. Проверить ее на четность: 213 — нечетное значение.
  3. Вывод: число 213 на четверку нацело поделить невозможно.

Далее необходимо разобрать другой пример деления 212 на 4. Проверка кратности осуществляется следующим образом:

  1. Записать число: 212.
  2. Проверить на четность: 212 — четное, т. к. последний разряд заканчивается на двойку.
  3. Число, образованное из двух последних цифр: 12.
  4. Вывод: 212 можно без остатка поделить на 4, поскольку значение является четным, а две последние элементы разрядной сетки делятся на четверку.

Если выполнить операцию «212/4» при помощи калькулятора, то можно получить целочисленное значение, которое равно 53. Чтобы понять принцип действия алгоритма, нужно придумать любое число, и попытаться поделить его на четверку. Например, нужно разделить 4325624 на 4. Для этого требуется сначала выяснить кратность искомого числа четырем. Решать задачу нужно таким образом:

  1. Записать величину: 4325624.
  2. Определить четность: четное, поскольку заканчивается на 4.
  3. Взять последние 2 цифры: 24. Они делятся на 4, поскольку 4*6=24.

Далее требуется на калькуляторе или в столбик осуществить операцию деления, результатом которой будет число «1081406».

Таким образом, чтобы поделить любое числовое значение на четверку нужно проверить его четность, а также целочисленное деление на искомый делитель величины, образованной двумя последними цифрами.

Источник статьи: http://tarologiay.ru/nauka/pravilo-priznaka-delimosti-na-4-s-primerami.html

Понравилась статья? Поделить с друзьями: